Bonjour pouvez vous me faire cette exercice merci d'avance On dispose d'une feuille rectangulaire de dimensions x et y (en centimètre) dont le périmètre reste f
Mathématiques
florentdecuba
Question
Bonjour pouvez vous me faire cette exercice merci d'avance
On dispose d'une feuille rectangulaire de dimensions x et y (en centimètre) dont le périmètre reste fixe, égale à 60 cm.
A l'aide de ce rectangle on fabrique un cylindre de hauteur x et de base R. On cherche à fabriquer le cylindre dont le volume est maximal.
1)
a) Justifier que x∈ [0;30]. On admettra que lorsque x vaut 0 ou 30, le cylindre a un volume nul.
b) Exprimer le rayon R de la base en fonction de y, puis en fonction de x.
c) Exprimer le volume V(x) du cylindre en fonction de x.
d) A l'aide de la calculatrice, trouver pour quelle valeur de x le volume de ce cylindre semble maximal.
2)
a) Vérifier que x(30-x)²-4000=(x-40)(x-10)²
b) Étudier le signe de V(x)-V(10). En déduire pour quelle caleur de x le volume du cylindre est maximal.
C) Calculer les dimensions de la feuille rectangulaire et le rapport de la longueur sur la largeur.
On dispose d'une feuille rectangulaire de dimensions x et y (en centimètre) dont le périmètre reste fixe, égale à 60 cm.
A l'aide de ce rectangle on fabrique un cylindre de hauteur x et de base R. On cherche à fabriquer le cylindre dont le volume est maximal.
1)
a) Justifier que x∈ [0;30]. On admettra que lorsque x vaut 0 ou 30, le cylindre a un volume nul.
b) Exprimer le rayon R de la base en fonction de y, puis en fonction de x.
c) Exprimer le volume V(x) du cylindre en fonction de x.
d) A l'aide de la calculatrice, trouver pour quelle valeur de x le volume de ce cylindre semble maximal.
2)
a) Vérifier que x(30-x)²-4000=(x-40)(x-10)²
b) Étudier le signe de V(x)-V(10). En déduire pour quelle caleur de x le volume du cylindre est maximal.
C) Calculer les dimensions de la feuille rectangulaire et le rapport de la longueur sur la largeur.
1 Réponse
-
1. Réponse laurance
le périmètre du cercle et égal à y : 2 piR = y
R = y /( 2pi) or x + y = 30 donc y = 30 -x
R =(30 -x) /(2pi)
v(x)= base * hauteur = pi *R² * x = pi * ( (30-x)² / (2pi)² ) * x
à l'aide de la calculatrice pour x = 10 volume maximal
x(30-x)² - 4000 = x( 900-60x+x²) - 4000
et (x-40)(x-10)²= (x-40)(x² -20x+100)= x(x² -20x +100) - 40(x² -20x+100 )
=x(x² -20x+100) - 40x(x-20) - 40*100
=x(x² -20x +100 -40x + 800) -4000
=x(x² -60x + 900) -4000
= x(30-x)² - 4000
V(x) - V(10) = pi /(2pi)²[ (30-x)²(x) - (30-10)²*10] =pi /(2pi)²[ (30-x)²(x) - 4000]
=pi /(2pi)²(x-40)(x-10)²
x-40 est négatif et (x-10)² positif le signe est donc négatif
on en déduit que V(x) < V(10)
le volume est donc maximal pour x = 10
les dimensions sont
x= 10 y= 20
y/x = 20/10 = 2