Bonjour, j'ai un exercice à faire en spécialité maths, pouvez vous m'aider s'il vous plait: 1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 3^2n-2^n
Mathématiques
savedance
Question
Bonjour, j'ai un exercice à faire en spécialité maths, pouvez vous m'aider s'il vous plait:
1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 3^2n-2^n est divisible par 7.
2) Pour quels entiers naturels n, le reste de la division de (n+1)^3 par n^2 est-il 3n+1? Sachant que (n+1)^3=n^2(n+3)+3n+1
j'ai fait pour la 1) l'initialisation avec n=0 mais après je suis bloquée. Merci de m'aider
1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 3^2n-2^n est divisible par 7.
2) Pour quels entiers naturels n, le reste de la division de (n+1)^3 par n^2 est-il 3n+1? Sachant que (n+1)^3=n^2(n+3)+3n+1
j'ai fait pour la 1) l'initialisation avec n=0 mais après je suis bloquée. Merci de m'aider
1 Réponse
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1. Réponse laurance
1)hérédité
supposons que 3^2n-2^n divisible par 7
alors 3^2n-2^n = 7 *k
3^2n= 2^n + 7 *k
9( 3^2n ) = 9(2^n + 7 *k ) 9 = 7 +2
3^2(n+1) = 2 (2^n ) + 7 (2^n ) + 63 *k
3^2(n+1) - 2^(n +1) = 7[ (2^n ) + 9 *k ]
ceci montre que 3^2(n+1) - 2^(n +1) est divisible par 7 : la proposition est bien héréditaire
2)pour les entiers naturels tel que 3n+1 < n²
ou 1< n² - 3n
1 < (n -1,5)² - 2,25
3,25 < (n -1,5)²
√3,25 < n -1,5
n > 1,5 + √3,25
n > 3,3 donc à partir de n = 4