Bonsoir tout le monde ! Donc me voila, j'ai un exercice assez long, que je n'arrive pas a faire, d'ailleurs je suis pas la seule ! Pour vous dire il est assez d

Bonjour Coraliedu59 

Partie A.

Soit le repère (O, X, Y)
On sait que les coordonnées du point M sont [tex](\cos x\ ;\ \sin x)[/tex]

La droite (OM) a une équation du type [tex]Y=aX+b[/tex].
Puisque cette droite passe par l'origine O du repère, nous savons que b = 0

D'où [tex]Y=aX[/tex].

Or le coefficient directeur a est égal à [tex]\dfrac{y_M-y_O}{x_M-x_O}=\dfrac{\sin x-0}{\cos x-0}=\dfrac{\sin x}{\cos x}[/tex]

Donc, l'équation de la droite (OM) est [tex]Y=\dfrac{\sin x}{\cos x}\ X[/tex]

La droite [tex]\Delta[/tex] est parallèle à l'axe des ordonnées et passe par le point (1 ; 0).
Donc son équation est [tex](\Delta):\ X=1[/tex]

Par conséquent, les coordonnées du point T, intersection entre la droite (OM) et la droite [tex]\Delta[/tex] est la solution du système : 

[tex]\left\{\begin{matrix}Y=\dfrac{\sin x}{\cos x}\ X\\\\X=1\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}Y=\dfrac{\sin x}{\cos x}\times1\\\\X=1\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}Y=\dfrac{\sin x}{\cos x}\\\\X=1\end{matrix}\right.[/tex]

D'où, les coordonnées du point T sont [tex]\boxed{(1\ ;\ \dfrac{\sin x}{\cos x})}[/tex]

Partie B

1) Montrons que la fonction tangente est une fonction impaire.

Pour tout [tex]x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z})[/tex], on sait que [tex]-x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z})[/tex]

[tex]\tan(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}[/tex]

[tex]\tan(-x)=\dfrac{-\sin x}{\cos x}[/tex]

[tex]\tan(-x)=-\tan x[/tex]

Par conséquent, la fonction tangente est impaire.
D'où la courbe représentative de la fonction tangente est symétrique par rapport à l'origine O du repère.

2a) [tex]\lim\limits_{h\to 0}\tan h=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{\cos h}=\dfrac{\sin 0}{\cos 0}=\dfrac{0}{1}=0[/tex]

D'où  [tex]\boxed{\lim\limits_{h\to 0}\tan h=0}[/tex]

[tex]2b)\ \dfrac{\tan(a+h)-\tan a}{h}=\dfrac{\dfrac{\tan a+\tan h}{1-\tan a\tan h}-\tan a}{h}[/tex]

[tex]\dfrac{\tan(a+h)-\tan a}{h}=\dfrac{\dfrac{\tan a+\tan h}{1-\tan a\tan h}-\dfrac{\tan a(1-\tan a\tan h)}{1-\tan a\tan h}}{h}[/tex]

[tex]\dfrac{\tan(a+h)-\tan a}{h}=\dfrac{\dfrac{\tan a+\tan h-\tan a(1-\tan a\tan h)}{1-\tan a\tan h}}{h}[/tex]

[tex]\dfrac{\tan(a+h)-\tan a}{h}=\dfrac{\dfrac{\tan a+\tan h-\tan a+\tan^2 a\tan h}{1-\tan a\tan h}}{h}[/tex]

[tex]\dfrac{\tan(a+h)-\tan a}{h}=\dfrac{\dfrac{\tan h+\tan^2 a\tan h}{1-\tan a\tan h}}{h}[/tex]

[tex]\dfrac{\tan(a+h)-\tan a}{h}=\dfrac{\tan h+\tan^2 a\tan h}{h(1-\tan a\tan h)}[/tex]

[tex]\boxed{\dfrac{\tan(a+h)-\tan a}{h}=\dfrac{\tan h(1+\tan^2 a)}{h(1-\tan a\tan h)}}[/tex]

[tex]2c)\ \tan'(0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\tan (0+h)-\tan0}{h}[/tex]

[tex]\tan'(0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\tan h-0}{h}[/tex]

[tex]\tan'(0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\tan h}{h}[/tex]

[tex]\tan'(0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\dfrac{\sin h}{\cos h}}{h}[/tex]

[tex]\tan'(0)=\lim\limits_{h\to0}(\dfrac{\sin h}{h}\dfrac{1}{\cosh})[/tex]

[tex]\tan'(0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h}\times\lim\limits_{h\to0}\dfrac{1}{\cosh}[/tex]

[tex]\tan'(0)=1\times\dfrac{1}{1}[/tex]

[tex]\boxed{\tan'(0)=1}[/tex]

Donc la fonction tangente est dérivable en 0
puisque [tex]\tan'(0)=1\in\mathbb{R}[/tex]

2d) Equation de la tangente (T) à C au point d'abscisse 0.

[tex](T):y=\tan'(0)(t-0)-\tan 0[/tex]

[tex](T):Y=1\times X-0[/tex]

[tex]\boxed{(T):Y=X}[/tex]

3b) Voir pièce jointe n° 1

3c) Voir pièce jointe n°2

On reproduit le graphique précédent sur l'intervalle [tex][0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}[[/tex].

On construit le symétrique de ce graphique par rapport à l'origine sur l'intervalle [tex]]\dfrac{\pi}{2}\ ;\ 0][/tex]

On reproduit ensuite ces deux parties sur l'intervalle [tex]]\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{3\pi}{2}[[/tex] puisque la fonction tangente est pi-périodique.