Soit f une fonction définie sur ] − ∞; 1[∪]1; 3[∪]3; +∞[ par : f(x) = 5 + 2/1 − x + 1/2x − 6 1) Tracer Cf , la courbe représentative de f, dans un repère adapté

Bonjour Framboisa

[tex]f(x) = 5 + \dfrac{2}{1-x}+\dfrac{1}{2x-6}[/tex]

1) Tracer Cf , la courbe représentative de f, dans un repère adapté.

Voir pièce jointe.

2) Démontrer chacun des conjectures suivantes :
a. Cf admet trois asymptotes.

[tex]\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x) = \lim\limits_{x\to\pm\infty}5 +\lim\limits_{x\to\pm\infty} \dfrac{2}{1-x}+\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{2x-6}[/tex]

[tex]\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x) = 5+0+0[/tex]

[tex]\boxed{\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x) = 5}[/tex]

D'où, il existe une asymptote horizontale en +oo et -oo d'équation y = 5.

[tex]\lim\limits_{x\to1^-}f(x) = \lim\limits_{x\to1^-}5 +\lim\limits_{x\to1^-} \dfrac{2}{1-x}+\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{1}{2x-6}[/tex]

[tex]\lim\limits_{x\to1^-}f(x) = 5 +\infty-\dfrac{1}{4}[/tex]

[tex]\boxed{\lim\limits_{x\to1^-}f(x) = +\infty}[/tex]

De même,  [tex]\boxed{\lim\limits_{x\to1^+}f(x) = -\infty}[/tex]

D'où, il existe une asymptote verticale d'équation x = 1

[tex]\lim\limits_{x\to3^-}f(x) = \lim\limits_{x\to3^-}5 +\lim\limits_{x\to3^-} \dfrac{2}{1-x}+\lim\limits_{x\to3^-}\dfrac{1}{2x-6}[/tex]

[tex]\lim\limits_{x\to3^-}f(x) = 5 -1-\infty[/tex]

[tex]\boxed{\lim\limits_{x\to3^-}f(x) = -\infty}[/tex]

De même,  [tex]\boxed{\lim\limits_{x\to3^+}f(x) = +\infty}[/tex]

D'où, il existe une asymptote verticale d'équation x = 3.

b. f admet un maximum local et un minimum local (-Rappel : on dit que
f admet un maximum local en x0 quand il existe un intervalle ouvert
contenant x0 sur lequel f(x0) est le maximum de f. En terme de dérivée,
il y a extremum local en x0 quant le dérivée s’annule en x0 en changeant
de signe.)

[tex]f'(x) = (5 + \dfrac{2}{1-x}+\dfrac{1}{2x-6})'[/tex]

[tex]f'(x) = 0+\dfrac{2}{(1-x)^2}-\dfrac{2}{(2x-6)^2}[/tex]

[tex]f'(x) =\dfrac{2(2x-6)^2-2(1-x)^2}{(1-x)^2(2x-6)^2}[/tex]

[tex]f'(x) =\dfrac{2[(2x-6)^2-(1-x)^2]}{(1-x)^2(2x-6)^2}[/tex]

[tex]f'(x) =\dfrac{2[(2x-6)+(1-x)][(2x-6)-(1-x)]}{(1-x)^2(2x-6)^2}[/tex]

[tex]f'(x) =\dfrac{2(x-5)(3x-7)}{(1-x)^2(2x-6)^2}[/tex]

Etude du signe de f'(x)

racines : numérateur : 5 et 7/3
               dénominateur : 1 et 3

[tex]\begin{array}{|c|ccccccccccc|} x&-\infty&&1&&\dfrac{7}{3}&&3&&5&&+\infty \\ 2(x-5)(3x-7)&&+&+&+&0&-&-&-&0&+&\\ (1-x)^2(2x-6)^2&&+&0&+&+&+&0&+&+&+&\\f'(x)&&+&||&+&0&-&||&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|c|ccccccccccc|} x&-\infty&&1&&\dfrac{7}{3}&&3&&5&&+\infty \\f'(x)&&+&||&+&0&-&||&-&0&+&\\f(x)&&\nearrow&||&\nearrow&\dfrac{11}{4}&\searrow&||&\searrow&\dfrac{19}{4}&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]

Par conséquent, f admet un maximum local pour x = 7/3.
Ce maximum est égal à 11/4.

 f admet un minimum local pour x = 5.
Ce minimum est égal à 19/4.

c. Cf coupe son asymptote horizontale en un seul point.

Résoudre l'équation f(x) = 5

[tex]5 + \dfrac{2}{1-x}+\dfrac{1}{2x-6}=5[/tex]

[tex] \dfrac{2}{1-x}+\dfrac{1}{2x-6}=0[/tex]

[tex]\dfrac{1}{2x-6}= \dfrac{-2}{1-x}[/tex]

[tex]\dfrac{1}{2x-6}= \dfrac{2}{x-1}[/tex]

[tex]2\times(2x-6)= 1\times(x-1)[/tex]

[tex]4x-12=x-1[/tex]

[tex]3x=11[/tex]

[tex]x=\dfrac{11}{3}\approx3,67[/tex]

Par conséquent,

Cf coupe son asymptote horizontale au point (11/3 ; 5)