Bonjour et bien j'ai un dévoir maison de maths il y a 5 exercice, mais ne vous en faites pas j'ai deja tout fait sauf qu'il y a un exercice bonus que je ne suis
Mathématiques
maryknJmissca
Question
Bonjour et bien j'ai un dévoir maison de maths il y a 5 exercice, mais ne
vous en faites pas j'ai deja tout fait
sauf qu'il y a un exercice bonus que je ne suis pas obligé de faire mais
j'en ai envie pour avoir une meilleure note! C'est une récurrence que je
n'arrive pas trop a faire.. voici l'énoncé : et merci pour l'aide !1) Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal a 1, le
nombre N= 31
4n+1
+18
4n-1
est divisible par 13En effet ici je peux utilisé les congruences c'est beaucoup plus simple
mais mon prof ma dit de faire par récurrence donc voila
vous en faites pas j'ai deja tout fait
sauf qu'il y a un exercice bonus que je ne suis pas obligé de faire mais
j'en ai envie pour avoir une meilleure note! C'est une récurrence que je
n'arrive pas trop a faire.. voici l'énoncé : et merci pour l'aide !1) Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal a 1, le
nombre N= 31
4n+1
+18
4n-1
est divisible par 13En effet ici je peux utilisé les congruences c'est beaucoup plus simple
mais mon prof ma dit de faire par récurrence donc voila
1 Réponse
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1. Réponse laurance
pour n = 1
31^5 + 18^ 3 =28634983 = 13 * 2202691
supposons que 31^(4n+1) + 18^ (4n-1) = 13 k
31^[ 4(n+1) + 1 ] ) = 31^(4n+1) * 31^4 = [ 13k - 18^(4n-1)] * 31^ 4
= 13 k * 31^ 4 - 18^(4n-1) * 31^ 4 -18^[4(n+1) -1 ] + 18^[4(n+1) -1]
= 13 k * 31^4 - 18^[4(n+1) -1 ] + 18^(4n-1) [ 18^4 -1 ]
or 18^4 -1 = 104975 = 13 *8075
en conclusion
31^[ 4(n+1) + 1 ] ) = - 18^[4(n+1) -1 ] +13 [ k * 31^4 + 18^(4n-1)*8075]
ceci prouve que
31^[ 4(n+1) + 1 ] ) + 18^[4(n+1) -1 ] =13 [ k * 31^4 + 18^(4n-1)*8075]
donc est divisible par 13 et montre l'hérédité