Bonjour, je suis en première S et j'ai un dm de maths à faire et j'ai réussi malheureusement que la 1ère question. Je vous dicte l'énoncé: Nous avons une équat
Mathématiques
louise710
Question
Bonjour, je suis en première S et j'ai un dm de maths à faire et j'ai réussi malheureusement que la 1ère question. Je vous dicte l'énoncé: Nous avons une équation (D): x au cube= px+q.
Pour cela on pose x=u+v
a) montrer que D devient u au cube +v au cube + (3uv-p) (u+v) =q
J ai donc réussi cette première question.
b) On pose alors U = u au cube et V = v au cube. Montrer que si l'on a le système :
U+V = q
UV = p au cube / 27
alors on peut obtenir une solution de (E).
Pour cette question, je suis partie de la réponse à la première question et pense que l'on doit tomber sur une équation du second dégré comme je viens de faire en ce début d'année. Mais je ne sais pas comment partir de l'expression de la question a) pour arriver à une équation du second dégré.
c) a quelle condition le système précédent a t-il une solution?
Il doit y avoir une histoire avec le discrimant mais encore une fois je ne sais pas bien.
d) Pour résoudre l'équation ax au cube+ bx² +cx+d=0 on pose x=y+h et on détermine h pour obtenir une équation de la forme( D). Montrer que c'est toujours possible puis poursuivez le plan de résolution.
Voilà je vous remercie d'avance pour tout début de réponse ou tout conseil que vous me donnerez pour réussir ce dm.
Pour cela on pose x=u+v
a) montrer que D devient u au cube +v au cube + (3uv-p) (u+v) =q
J ai donc réussi cette première question.
b) On pose alors U = u au cube et V = v au cube. Montrer que si l'on a le système :
U+V = q
UV = p au cube / 27
alors on peut obtenir une solution de (E).
Pour cette question, je suis partie de la réponse à la première question et pense que l'on doit tomber sur une équation du second dégré comme je viens de faire en ce début d'année. Mais je ne sais pas comment partir de l'expression de la question a) pour arriver à une équation du second dégré.
c) a quelle condition le système précédent a t-il une solution?
Il doit y avoir une histoire avec le discrimant mais encore une fois je ne sais pas bien.
d) Pour résoudre l'équation ax au cube+ bx² +cx+d=0 on pose x=y+h et on détermine h pour obtenir une équation de la forme( D). Montrer que c'est toujours possible puis poursuivez le plan de résolution.
Voilà je vous remercie d'avance pour tout début de réponse ou tout conseil que vous me donnerez pour réussir ce dm.
1 Réponse
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1. Réponse laurance
en fait quand on te dit de poser x = u +v il y a une infinité de façons de choisir u et v
par exemple x = 5 5 = 2 +3 = 4 +1 = 17 - 12 etc
mais si on impose une condition à u et v il peut n'y avoir qu'une façon possible ;imagine par exemple qu'on demande que u soit le triple de v
du coup 5 = 15/4 + 5/4 ( c'est un exemple)
dans ton cas on va imposer que 3uv = p ce qui va simplifier l'équation
obtenue en a) u^3 + v^ 3 = q avec la condition que 3uv = p
en utilisant U et V on obtient bien U + V =q et ( 3uv)^ 3 = p^ 3
27 UV = p^3 ou UV = p^3 / 27
pour avoir l'équation du second degré c'est facile: V = q -U et
27 U(q - U ) = p^3 DONC 27Uq - 27 U² = p^3
27U² - 27 Uq + p ^3 = 0
l'inconnue est U
delta = ( 27q)² - 4 *27 ^p^3 = 27 ( 27q² - 4p³ )
delta positif : 27q² supérieur à 4p³
x = y + h l'équation devient
ax³ + 3ax² h + 3ah²x +ah³ + bx² +2bxh+bh² +cx+ch +d = 0
la condition qu'il faut imposer est
3ah + b = 0 il va rester
ax³ + 3ah²x +ah³ + 2bxh+bh² +cx+ch +d = 0
ax³ = - 3ah²x -ah³ - 2bxh-bh² -cx-ch -d
puis
x³ = - 3h²x -h³ - 2b/a*xh-b/a*h² -c/ax-c/a*h -d/a = px + q
p = -3h² - 2b/a *h - c /a q= -h³ -b/a *h² - c/a *h - d/a
avec h = - b/(3a)