soit ABCD un quadrilatère quelconque M le milieu de [AB] la droite parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N et la droite parallèle à (DC)passant par N

Bonjour.
Puisque M est le milieu de AB, on a AM/AB=1/2
Comme (MN) // (BC) on peut appliquer Thalès dans le triangle ABC :
AN/AC=AM/AB
Donc AN/AC=1/2 : N est donc le milieu de AC
Comme (NP) // (DC) on peut appliquer Thalès dans le triangle ACD :
AP/AD=AN/AC=1/2
Donc P est le milieu de AD
On a donc AP/AD=1/2 et AM/AB=1/2
Soit AP/AD=AM/AB : d'après la réciproque de Thalès, (MP) // (BD)