Aide SVP! Merci! :) Niveau 2nde

Bonjour POKOPOPS

Par Pythagore dans le triangle OMN rectangle en M,

[tex]ON^2=OM^2+NM^2\\ON^2=8^2+6^2\\ON^2=64+36\\ON^2=100[/tex]

[tex]ON=\sqrt{100}\\\\\boxed{ON=10}[/tex]

Par conséquent les coordonnées du point N sont (10 ; 0).

Soit [tex]M(x_M;y_M) [/tex]

Alors 

[tex]OM^2+NM^2=ON^2\\\\(x_M-x_O)^2+(y_M-y_O)^2+(x_M-x_N)^2+(y_M-y_N)^2=100[/tex]

[tex]\\(x_M-0)^2+(y_M-0)^2+(x_M-10)^2+(y_M-0)^2=100\\\\x_M^2+y_M^2+(x_M-10)^2+y_M^2=100[/tex]

[tex]x_M^2+y_M^2+x_M^2-20x_M+100+y_M^2=100\\\\2x_M^2+2y_M^2-20x_M=0[/tex]

[tex]\boxed{x_M^2+y_M^2-10x_M=0}[/tex]

D'autre part,

[tex]OM=8\Longrightarrow OM^2=64\\\\(x_M-x_O)^2+(y_M-y_O)^2=64[/tex]

[tex](x_M-0)^2+(y_M-0)^2=64\\\\\boxed{x_M^2+y_M^2=64}[/tex]

Nous avons donc le système 

[tex]\left\{\begin{matrix}x_M^2+y_M^2-10x_M=0\\\\x_M^2+y_M^2=64 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}64-10x_M=0\\\\x_M^2+y_M^2=64 \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]64-10x_M=0\Longrightarrow 10x_M=64\Longrightarrow x_M=\dfrac{64}{10}\\\\\boxed{x_M=6,4}[/tex]

[tex]x_M^2+y_M^2=64\Longrightarrow 6,4^2+y_M^2=64\\\\40,96+y_M^2=64[/tex]

[tex]y_M^2=64-40,96\\\\y_M^2=23,04[/tex]

[tex]y_M=\pm\sqrt{23,04}\\\\\boxed{y_M=\pm4,8}[/tex]

Par conséquent,

le problème admet deux solutions possibles pour le point M :

[tex]\boxed{M(6,4\ ;\ -4,8)\ \ ou\ \ M(6,4\ ;\ 4,8)}[/tex]