Besoin d'aide... SVP ! Urgent! Merci beaucoup !!! :) Niveau 2nde - Équations de droites

Bonjour POKOPOPS

1) a) L'équation de la droite (d1) est de la forme ; y = ax + b.

Déterminons le coefficient directeur a.

Puisque la droite (d1) est parallèle à la droite (AB), ces deux droites ont le même coefficient directeur.

Or le coefficient directeur de (AB) est [tex]\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{4-0}{2-10}=\dfrac{4}{-8}=-\dfrac{1}{2}=-0,5[/tex]

D'où, l'équation de la droite (d1) est de la forme [tex]y=-0,5x+b[/tex]

Déterminons l'ordonnée à l'origine b.

La droite (d1) passe par le point M(m ; 0).
Dans l'équation de (d1), remplaçons x par m et y par 0.

[tex]0=-0,5m+b\Longrightarrow b=0,5m[/tex]

Par conséquent, une équation de la droite (d1) est [tex]\boxed{y=-0,5x+0,5m}[/tex]

1) b) Puisque le point C est sur l'axe des ordonnées, son abscisse est nulle.

Dans l'équation de (d1), remplaçons x par 0.

[tex]y=-0,5m\times0+0,5m\Longrightarrow y=0+0,5m\Longrightarrow y=0,5m[/tex]

Par conséquent, nous avons : [tex]\boxed{C(0\ ;\ 0,5m)}[/tex]

2) a) L'équation de la droite (d2) est de la forme ; y = ax + b.

Déterminons le coefficient directeur a.

Puisque la droite (d2) est parallèle à la droite (OB), ces deux droites ont le même coefficient directeur.

Or le coefficient directeur de (OB) est [tex]\dfrac{y_B-y_O}{x_B-x_O}=\dfrac{4-0}{2-0}=\dfrac{4}{2}=2[/tex]

D'où, l'équation de la droite (d2) est de la forme [tex]y=2x+b[/tex]

Déterminons l'ordonnée à l'origine b.

La droite (d2) passe par le point M(m ; 0).
Dans l'équation de (d2), remplaçons x par m et y par 0.

[tex]0=2m+b\Longrightarrow b=-2m[/tex]

Par conséquent, une équation de la droite (d2) est [tex]\boxed{y=2x+-2m}[/tex]

2 b) Puisque le point E est sur la droite d'équation x = 10, son abscisse est égale à 10.

Dans l'équation de (d2), remplaçons x par 10.

[tex]y=2m\times10-2m\Longrightarrow y=20-2m[/tex]

Par conséquent, nous avons : [tex]\boxed{E(10\ ;\ 20-2m)}[/tex]

3) Les points B, C et E sont-ils alignés ?

Les vecteurs [tex]\overrightarrow{BC}\ et\ \overrightarrow{BE}[/tex] sont-ils colinéaires ?

[tex]\overrightarrow{BC}\ :\ (x_C-x_B\ ;\ y_C-y-B)\\\overrightarrow{BC}\ :\ (0-2\ ;\ 0,5m-4)\\\overrightarrow{BC}\ :\ (-2\ ;\ 0,5m-4)[/tex]

[tex]\overrightarrow{BE}\ :\ (x_E-x_B\ ;\ y_E-y-B)\\\overrightarrow{BE}\ :\ (10-2\ ;\ 20-2m-4)\\\overrightarrow{BE}\ :\ (8\ ;\ -2m+16)[/tex]

Or  
[tex]-4\ \overrightarrow{BC}\ :\ -4\ (-2\ ;\ 0,5m-4)\\-4\ \overrightarrow{BC}\ :\ (-4\times(-2)\ ;\ -4(0,5m-4))\\-4\ \overrightarrow{BC}\ :\ (8\ ;\ 2m+16)[/tex]

[tex]\-4\ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE}[/tex]

D'où les vecteurs [tex]\overrightarrow{BC}\ et\ \overrightarrow{BE}[/tex] sont colinéaires.

Par conséquent,
les points B, C et E sont alignés.