Bonjour Les dérivées et les primitives _____________________ Soient n un entier naturel, a,b des réels avec a =/= 0. 1) Quelle est la fonction dérivée de cos^n
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Question
Bonjour
Les dérivées et les primitives
_____________________
Soient n un entier naturel, a,b des réels avec a =/= 0.
1) Quelle est la fonction dérivée de cos^n ( ax + b )?
2) En déduire l'ensemble des primitives de sin( ax + b ) cos( ax + b )
3) Déterminer l'unique primitive F de la fonction f (x) = sin ( 3x + pi/4 ) cos ( 3x + pi/4) telle que F(0) = 1.
4) Que pouvons-nous dire concernant les variations de F sur ] -pi ; pi] ?
Je vous remercie de votre aide.
Les dérivées et les primitives
_____________________
Soient n un entier naturel, a,b des réels avec a =/= 0.
1) Quelle est la fonction dérivée de cos^n ( ax + b )?
2) En déduire l'ensemble des primitives de sin( ax + b ) cos( ax + b )
3) Déterminer l'unique primitive F de la fonction f (x) = sin ( 3x + pi/4 ) cos ( 3x + pi/4) telle que F(0) = 1.
4) Que pouvons-nous dire concernant les variations de F sur ] -pi ; pi] ?
Je vous remercie de votre aide.
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
1) Quelle est la fonction dérivée de cos^n ( ax + b )?
f(x)=cos^n(ax+b)
f'(x)=-n.a.sin(ax+b).cos^(n-1)(ax+b)
2) En déduire l'ensemble des primitives de sin( ax + b ) cos( ax + b )
g(x)=sin(ax+b).cos(ax+b)
=-1/(2a)*(-2a).sin(ax+b).cos(ax+b)
G(x)=-1/(2a).cos²(ax+b)+k
3) Déterminer l'unique primitive F de la fonction f (x) = sin ( 3x + pi/4 ) cos ( 3x + pi/4) telle que F(0) = 1.
f(x)=sin(3x+π/4).cos(3x+π/4)
F(x)=-1/6.cos²(3x+π/4)+k
F(0)=1 donc -1/6.cos(π/4)+k=1
donc k=1+1/6.√2/2=(12+√2)/12
donc F(x)=-1/6.cos²(3x+π/4)+(12+√2)/12
4) Que pouvons-nous dire concernant les variations de F sur ] -pi ; pi] ?
F'(x)=f(x)=sin(3x+π/4).cos(3x+π/4)
=1/2.sin(2(3x+π/4))
=1/2.sin(6x+π/2)
=1/2.cos(6x)
F'(x)>0 si -π/12+kπ/3<x<π/12+kπ/3
donc F est croissante sur [-π/12+kπ/3;π/12+kπ/3]
et F est décroissante sur les intervalles complémentaires