On considere un rectangle ABCD tel que AB=10 AD=6 on construit les points les points M,Q,P,N respectivement sur les segments [AD],[DC],[CB],[BA] de sorte que DM

Bonjour Maurinechanel 

1. faire une figure en y indiquant les différentes longueurs des segments représentés. 

voir pièce jointe.

2.Préciser pour quel ensemble de valeurs prises par x la figure est réalisable. 

La plus petite valeur de x est 0.
La plus grande valeur de x est 6.
Donc [tex]\boxed{x\in[0\ ;\ 6]}[/tex]

3.Exprimer l'aire A(x) du parallélogramme MNPQ en fonction de x.

[tex]Aire_{rectangle\ ABCD}=6\times10=60[/tex]
[tex]Aire_{triangle\ MDQ}=Aire_{triangle\ PBN}=\dfrac{1}{2}\times x\times x=\dfrac{1}{2} x^2[/tex]
[tex]Aire_{triangle\ MAN}=Aire_{triangle\ PCQ}=\dfrac{1}{2}\times(6-x)\times(10-x)[/tex]

[tex]Aire_{Parallelogramme\ MNMQ}\\=Aire_{rectangle\ ABCD}-2\times Aire_{triangle\ MDQ}-2\times Aire_{triangle\ MAN}[/tex]

[tex]Aire_{Parallelog\ MNMQ}=60-2\times\dfrac{1}{2}x^2-2\times\dfrac{1}{2}\times(6-x)\times(10-x)[/tex]

[tex]Aire_{Parallelog\ MNMQ}=60-x^2-(6-x)(10-x)[/tex]

[tex]Aire_{Parallelog\ MNMQ}=60-x^2-(60-6x-10x+x^2)[/tex]

[tex]Aire_{Parallelog\ MNMQ}=60-x^2-60+6x+10x-x^2[/tex]

[tex]\boxed{Aire_{Parallelog\ MNMQ}=-2x^2+16x}[/tex]

4.Montrer que A(x)= -2(x-4)²+32 5.En deduire la valeur de x telle que l'aire de MNPQ soit maximale. Préciser l'aire correspondante.

[tex]A(x)=-2x^2+16\\A(x)=-2(x^2-8x)\\A(x)=-2(x^2-8x+16-16)[/tex]

[tex]A(x) =-2[(x-4)^2-16]\\\boxed{A(x) =-2(x-4)^2+32} [/tex]

Puisque le coefficient de x² est négatif (-2<0), la fonction A admet un maximum.
Ce maximum existe si x = 4.
Ce maximum est égal à 32.

Par conséquent, 
l'aire du parallélogramme MNPQ sera maximale si x = 4.
L'aire maximale sera égale à 32 (unités)²