Bonsoir tout le monde, besoin d'aide SVP!! :) :) :) Bonsoir, j'aurais besoin d'aide pour un DM en maths SVP On considère un triangle ABC non aplati. On définit

Bonjour Pitony01

Voici une approche vectorielle du problème.

[tex]\\\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BK}+2\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{0} \\\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{0} \\\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{0} [/tex]

Soit (d) la droite donnée.
Soit A’ un second point de cette droite (d) différent de A  et K’ un point vérifiant la relation  [tex]\overrightarrow{A'K'}-\overrightarrow{BK'}+2\overrightarrow{CK'}=\overrightarrow{0}.[/tex]

Donc, ce point K’ vérifiera également la relation  [tex]\\\overrightarrow{A'B}+2\overrightarrow{CK'}=\overrightarrow{0}[/tex]

Par conséquent,

[tex]\\(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{CK})-(\overrightarrow{A'B}+2\overrightarrow{CK'})=\overrightarrow{0}[/tex]

[tex]\\\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{CK}-\overrightarrow{A'B}-2\overrightarrow{CK'}=\overrightarrow{0}[/tex]

[tex]\\\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A'B}+2\overrightarrow{CK}-2\overrightarrow{CK'}=\overrightarrow{0}[/tex]

[tex]\\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A'B})+2(\overrightarrow{CK}-\overrightarrow{CK'})=\overrightarrow{0}[/tex]

[tex]\\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA'})+2(\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{K'C})=\overrightarrow{0}[/tex]

[tex]\\\overrightarrow{AA'}+2\overrightarrow{K'K}=\overrightarrow{0}[/tex]

[tex]\\2\overrightarrow{KK'}=\overrightarrow{AA'} [/tex]

[tex]\\\overrightarrow{KK'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA'}[/tex]

Nous en déduisons que les vecteurs  [tex]\overrightarrow{KK'}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AA'}[/tex] sont colinéaires.

D’où  les droites (KK’) et (AA’) sont parallèles.

Par conséquent, si le point A décrit une droite (d) fixée, alors les points K parcourent une droite (d’) parallèle à la droite (d) passant par K.

Réciproquement, si (d’) est une droite passant par K et parallèle à la droite (d), montrons que pour tout point K’ de (d’), il existera un point A’ de (d) vérifiant  la relation  [tex]\overrightarrow{A'K'}-\overrightarrow{BK'}+2\overrightarrow{CK'}=\overrightarrow{0}[/tex]

On sait que (d’) est parallèle à (d).

Donc, il existe un point A’ de (d) et un point K’ de (d’) tel que  [tex]\\\overrightarrow{KK'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA'}[/tex]

[tex]\\\overrightarrow{AA'}+2\overrightarrow{K'K}=\overrightarrow{0}[/tex]

[tex]\\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA'})+2(\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{K'C})=\overrightarrow{0} [/tex]

[tex]\\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A'B})+2(\overrightarrow{CK}-\overrightarrow{CK'})=\overrightarrow{0} [/tex]

[tex]\\\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A'B}+2\overrightarrow{CK}-2\overrightarrow{CK'}=\overrightarrow{0} [/tex]

[tex]\\\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{CK}-\overrightarrow{A'B}-2\overrightarrow{CK'}=\overrightarrow{0} [/tex]

[tex]\\(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{CK})-(\overrightarrow{A'B}+2\overrightarrow{CK'})=\overrightarrow{0} [/tex]

Or par hypothèse, nous savons que [tex]\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{0}[/tex]

Donc,  [tex]\\\overrightarrow{0}-(\overrightarrow{A'B}+2\overrightarrow{CK'})=\overrightarrow{0}[/tex]

[tex]\\\overrightarrow{A'B}+2\overrightarrow{CK'}=\overrightarrow{0}[/tex]

[tex]\\\overrightarrow{A'K'}+\overrightarrow{K'B}+2\overrightarrow{CK'}=\overrightarrow{0} [/tex]

[tex]\\\boxed{\overrightarrow{A'K'}-\overrightarrow{BK'}+2\overrightarrow{CK'}=\overrightarrow{0}}[/tex]

En conclusion,

Nous avons montré que
 
si le point A décrit une droite (d) fixée, alors les points K parcourent une droite (d’) parallèle à la droite (d) passant par K

et que

si (d’) est une droite passant par K et parallèle à la droite (d), montrons que pour tout point K’ de (d’), il existera un point A’ de (d) vérifiant  la relation  [tex]\overrightarrow{A'K'}-\overrightarrow{BK'}+2\overrightarrow{CK'}=\overrightarrow{0}[/tex]

Par conséquent,

le lieu des points K lorsque A décrit une droite fixée est une droite parallèle à la droite donnée