Bonjour, petits soucis en math : le théoreme de ptolémée soit A ( 2;4) , B(-2;2) , c(-3;-1) , D ( 5;-5) 1 ) demontrer que A,B,C et D appartiennent à un meme cer

bonjour
si les points A,B,C et D  sont à égale distance du centre du cercle ; alors ils appartiennent à un même cercle 

centre  Ω(2;-1)  -> ( dans la formule c'est  noté xo = 2  et yo = -1)
A ( 2;4) , B(-2;2) , C(-3;-1) , D ( 5;-5)

il suffit de calculer cette distance avec la formule du cours 
pour avoir la distance ΩA  
√ [(xa-xo)² +(ya-yo)²]
= √[(2-2)²+(4 -(-1))²] = √ ( 0² +5²) =√5² =5

pour avoir la distance ΩB 
√ [(xb-xo)² +(yb-yo)²]
= √[(-2-2)²+(2 -(-1))²] = √ ( (-4)² +3²) =√25 =5

pour avoir la distance ΩC
√ [(xc-xo)² +(yc-yo)²]
= √[(-3-2)²+(-1 -(-1))²]  =√25=5

pour avoir la distance ΩB 
√ [(xd-xo)² +(yd-yo)²]
= √[(5-2)²+(-5 -(-1))²]  = √25 =5

ΩA= ΩB= ΩC= ΩD
donc les points  A,B,C et D appartiennent à un même cercle de centre Ω(2;-1)

2)
on se sert toujours de la même formule pour calculer les côtés du polygone.
tu dois juste remplacer les coordonnées des points dans la formule.
distance AB :
√ [(xa-xb)² +(ya-yb)²] = √20
même méthode pour les autres
distance BC = √10 
distance CD =√80
 distance DA=√90
diagonale AC= √50
diagonale BD= √98

3) 
AB×CD+BC×AD= √20×√80 +√10×√90 =√1600 +√900 =40+30=70
AC×BD =√50×√98=√4900 = 70
donc on a bien
AB×CD+BC×AD=AC×BD