svp la convergence de la serie : n!/(n^n) c'est uuuuurgent

Soit [tex]U_n= \frac{n!}{n^n} [/tex]

[tex] \lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}= \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} }{ \frac{n!}{n^n} }\\\\\ \lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\times \frac{n^n}{n!} \\\\ \lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)\times n^n}{(n+1)^{n+1}} \\\\ \lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}= \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n}\\\\ [/tex]

[tex] \lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}= \lim_{n \to \infty}( \frac{n}{n+1})^n [/tex]

Or : [tex] \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n})^n= \lim_{n \to \infty} ( \frac{n+1}{n})^n =e[/tex]
Il s'agit d'une limite à connaitre !  (tu en as normalement fait la démonstration)

Sauf que nous on a pas (n+1)/n mais n/(n+1)  c'est à dire l'inverse, on aura donc l'inverse de la limite : 

[tex] \lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}= \frac{1}{e}\ \textless \ 1 [/tex]

D'après la règle de D'Alembert, la série [tex]\sum \frac{n!}{n^n} [/tex] est convergente