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Question

Bonsoir, J'aimerai avoir une reponse au plus vite possible SVP (19 POINTS)
On considère la fonction f= x+3-√ [tex]\frac{x}{x-2} [/tex]

10-Tracez la courbe (Cf) sur un repère orthonormé (sachant que Cf coupe (ox) dans le point dont l'abscisse α (α∈]2;[tex] \frac{5}{2} [/tex] [ )
11- Soit m un paramètre réel, déterminez selon les valeur de m le nombre de solutions de l'équation f(x)=m
12-Soit g la restriction de la fonction f sur l'intervalle ]2;+∞[
a)Démontrez que g admet une fonction réciproque g ^{-1} et déterminez Dg
b)Calculez g^{-1} (0)
et démontrez que g^{-1} ' (0)= (voir l'image)
===>pour la 10 je ne vous demande pas de me dessiner la courbe mais seulement de m'expliquer la phrase entre parentheses (sachant ...)
et je voudrais que vous me répondiez aux questions ci dessus MERCI D'AVANCE
Bonsoir, J'aimerai avoir une reponse au plus vite possible SVP (19 POINTS) On considère la fonction f= x+3-√ [tex]\frac{x}{x-2} [/tex] 10-Tracez la courbe (Cf)

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1 Réponse

  • 10) posons  h(x) =  x / (x-2)    h '(x) = -2 /(x-2)²   et   f'(x) = 1 - h'(x) / (2*√h(x) )

    =  1  + 2/(x-2)²  / (2*√h(x) ) = 1 +  1/[ (x-2)²√h(x )] ce qui  montre que  f est  croissante

    ensuit  f  est définie  pour   x <0   et  pour  x >  2
    la courbe comporte donc deux branches ; on le voit bien sur une calculatrice
    la limite de g(x)  en  -inf  ou  en  +inf  est  égale  à 1 
    donc  la courbe  admet  une asymptote  oblique d'équation  y = x+3-1 = x+2
     on voit aussi sur la calculatrice que la courbe coupe deux fois  l'axe Ox 
    une fois  pour  x = -2,27  et  une autre pour x   proche de  2  ( 2,1  environ)
    11)graphiquement   f(x)= m      admet   2 solutions  pour  m ≤3 
    une solution  pour  m > 3
    12)a) g est croissante sur  ] 2; + inf [    g ( ] 2 ; + inf[ ) = ]- inf ;  + inf [
    pour tout  y de IR   il existe  x unique tel que  g(x)=y 
    x est dans  ] 2, + inf  [   et   x = g^-1(y)        D^g-1  = IR
    comme dans  ] 2, + inf  [    g(alpha)= 0    alors  g^-1(0)= alpha
    et la dérivée  est g^-1 '(0) = 1/ [ g'(alpha) ]   
    or  g'(alpha)=1 +  1/[ (alpha-2)²√h(alpha )]
    sachant que    alpha + 3   - h(alpha)= 0
    h(alpha) = alpha +3 
    g'(alpha)=  1  + 1 / [ (alpha-2)² (alpha+3)]  

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