Bonjour à tous. On définit la suite [tex](u_n)_{n\in \mathbb N}[/tex] par ses deux premiers termes u0 et u1, tous deux compris au sens strict entre 0 et 1 et pa
Mathématiques
Anonyme
Question
Bonjour à tous.
On définit la suite [tex](u_n)_{n\in \mathbb N}[/tex] par ses deux premiers termes u0 et u1, tous deux compris au sens strict entre 0 et 1 et par la relation de récurrence :
[tex]\forall n \in \mathbb N, u_{n+2} = \frac 12 \left(\sqrt{u_{n+1}} + \sqrt{u_n}\right)[/tex]
1. Étudier la convergence de la suite (un). Dire si la suite est bornée.
2. Étudier le sens de variation de la suite.
On définit la suite [tex](u_n)_{n\in \mathbb N}[/tex] par ses deux premiers termes u0 et u1, tous deux compris au sens strict entre 0 et 1 et par la relation de récurrence :
[tex]\forall n \in \mathbb N, u_{n+2} = \frac 12 \left(\sqrt{u_{n+1}} + \sqrt{u_n}\right)[/tex]
1. Étudier la convergence de la suite (un). Dire si la suite est bornée.
2. Étudier le sens de variation de la suite.
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Conjectures :
* (Un) est croissante
* (Un) est minorée par 0
* (Un) est majorée par 1
* (Un) est convergente vers 1
Preuves :
* (Un) est croissante par récurrence double sur n
(I) : U0=a ; U1=b ; U2=1/2(√a+√b)>b car (√a+√b)²=a+2√(ab)+b>4b² donc U2>U1
(H) : Un+1>Un et Un+2>Un+1
√(Un+1)>√(Un) et √(Un+2)>√(Un+1)
√(Un+1)+√(Un+2)>√(Un)+√(Un+1)
Un+3>Un+2
(C) : (Un) est croissante
* (Un) est minorée par 0
U0>0 et U1>0 et pour tout entier n : 1/2(√(Un)+√(Un+1))>0
donc Un+2>0 donc (Un) est minorée par 0
* (Un) est majorée par 1 par récurrence double sur n
(I) : U0=a<1 et U1=b<1 donc √a<1 et √b<1 U2=1/2(√a+√b)<1
(H) on suppose que Un<1 et Un+1<1
√(Un)<1 et √(Un+1)<1
donc 1/2(√(Un+1)+√(Un))<1
donc Un+2<1
(C) : (Un) est majorée par 1
* (Un) est convergente vers 1
(Un) est croissante et maojorée
d'après le th de convergence monotone, on en déduit que (Un) est convergente vers L
d'après le th du point fixe la limite L vérifie l'équation :
L=1/2(√L+√L) donc 2L=2√L donc L=1 (car L≠0)
donc (Un) est convergente vers 1